Thomas' Mathe-Seiten
"Neugier, allgemeinsprachlich oft abwertend gebrauchte Bez.
für unangemessenes Interesse an den Angelegenheiten anderer Menschen; grundsätzlich ist
N. (N.-Verhalten) ein Bedürfnis nach Neuem und Aufsuchen von Neuem, wobei orientiertes
ebenso wie gerichtetes und zielstrebiges Vorgehen eine Rolle spielt. N. ist ein bei
Menschen und bei Tieren zu beobachtendes Verhalten, das wahrscheinlich angeboren
ist (Trieb zur Exploration). Sie regt zum Auskundschaften der Umwelt und zu oft
spieler. äußerem und innerem Experimentieren um der Entdeckung des Neuen
willen an. Der kindl. N. und ihrer Förderung durch ein freilassendes und Anregungen bietendes
Verhalten der Erziehungspersonen wird in der Pädagogik eine große Bedeutung beigemessen für
die Entwicklung der Motivation eines späteren Strebens nach Erkenntnis (Lernfähigkeit, Wissbegier),
schöpfer. Tätigkeiten, aber auch für Offenheit und Kontaktbereitschaft im
Sozialisationsprozess. Bei vielen Tieren erlischt das N.-Verhalten mit der Geschlechtsreife. Beim
Menschen dagegen bleibt die N. lebenslang bestehen."
Brockhaus Enzyklopädie
"Das schönste Erlebnis ist die Begegnung mit dem
Geheimnisvollen. Sie ist der Ursprung jeder wahren Kunst und Wissenschaft. Wer nie diese
Erfahrung gemacht hat, wer keiner Begeisterung fähig ist und nicht starr vor Staunen dastehen
kann, ist so gut wie tot: Seine Augen sind geschlossen..."
Albert Einstein
"Mathematik - das ist Sicherheit. Gewißheit. Wahrheit. Schönheit. Einsicht. Struktur."
Paul Halmos
Inhalt
- Unendliche Potenzen
In diesem Artikel werden wir uns einem zunächst bizarr anmutenden Thema widmen, nämlich den
unendlichen Kettenbrüchen, unendlichen Wurzelausdrücken und unendlichen Potenzen. Sie werden
sich jedoch, z.B. im Artikel über Fibonacci-Zahlen, als sehr nützlich erweisen. Außerdem
macht es einen Riesenspaß, die einfachsten Dinge möglichst kompliziert hinzuschreiben!
- Die Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt
Dieser Artikel beginnt mit der Definition der Fibonacci-Zahlen und des Goldenen Schnitts. Diese
beiden Begriffe ziehen sich dann wie ein roter Faden durch die folgenden Kapitel, um sich immer
wieder auf wundersamste Art und Weise zu vemischen. Es werden explizite Formeln für die
Fibonacci-Zahlen angegeben werden, die benutzt werden, um den Begriff der Fibonacci-Zahl zu
erweitern. Außerdem werden die Potenzen des Goldenen Schnitts untersucht. Dann werden sowohl
die Fibonacci-Zahlen als auch der Goldene Schnitt benutzt werden, um Stellenwertsysteme zu
definieren. Zwischendurch finden sich immer wieder mahematische Kuriositäten wie die
Kaninchen-Konstante, die Fibonacci-hyperbolischen Funktionen oder das 4-Zahlen-Spiel.
- Unendliche Mengen
Der Begriff "unendlich" wird in der Mathematik vielfach angewendet. Bei Grenzübergängen,
Asymptotenberechnungen oder Berechnung uneigentlicher Integrale wird er ganz natürlich benutzt.
Aber wie groß ist eigentlich "unendlich"? Bei genauerer Betrachtung findet man darauf mehrere
Antworten.
- Fraktale
Mit diesem Artikel werden wir in das weite Feld der Fraktale einsteigen. Er beginnt mit den
nötigen Bemerkungen zum Dimensionsbegriff. Dann werden Grundlagen über die Iteration von
Funktionen besprochen. An dieses Kapitel schließt sich direkt eine Behandlung der
logistischen Gleichung an. Nun wird zu den komplexen Zahlen übergegangen, d.h. Julia-
und Mandelbrot-Mengen werden untersucht. Dann folgen eine Reihe weiterer Kapitel zur
Vertiefung. Ein weiterer wichtiger Punkt ist das Kapitel über IFS. Darauf folgt eine
ausführliche Behandlung diverser fraktaler Kurven und ihrer Darstellung als Lindenmayer-System.
- Die Fakultät
Dieser Artikel gibt die Definition der "klassischen" Fakultät und führt von dort aus zunächst
zu der Anwendung in Taylor-Reihen und gibt dann eine einfache Methode an, darunter
die berühmte Stirling'sche Formel, die Fakultät für große Zahlen
anzunähern. Wir beschäftigen uns dann mit Eigenschaften der Dezimaldarstellung der Fakultät.
Im nächsten Schritt wird die Fakultätsdefinition auf reelle und komplexe Zahlen erweitert.
Zum Abschluss werden zwei Verwandte der eigentlichen Fakultät vorgestellt.
- Die Kegelschnitte
In diesem Artikel untersuchen wir eine Reihe von Kurven, die unter dem Überbegriff
Kegelschnitte zusammengefasst werden. Der Name kommt daher, dass alle diese Kurven beim
Schnitt einer Ebene mit einem Doppelkegel entstehen. Die Kegelschnitte haben bemerkenswerte
geometrische Eigenschaften, auf die wir hier zu sprechen kommen werden.
Zu diesem Artikel gibt es eine Animation.
- Hyperbolische Geometrie
Die aus der Schule bekannte euklidische Geometrie ist mit Abstand nicht die
einzig denkbare. In diesem Artikel werden Modelle nicht-euklidischer Geometrien
vorgestellt und ihre Eigenschaften untersucht.
- Die Kettenlinie
In diesem Artikel machen wir einen kleinen Abstecher in die Physik, genauer gesagt
in die Mechanik, und fragen uns: Welche Form nimmt eine Kette oder eine Schnur an,
wenn man sie an ihren Enden aufhängt? Nach oberflächlichem Betrachten würde man
sagen, eine Parabel, doch das ist nicht richtig. Wie die Kurve tatsächlich
aussieht, und wie man trotzdem an eine Parabel kommt, untersuchen wir hier.
- Das Buffon'sche Nadelexperiment
Eine numerische Bestimmung der Kreiszahl π erfolgt meist durch das Aufstellen von Formeln
aufgrund geometrischer Zusammenhänge und anschließende Auswertung durch die Berechnung von
möglichst vielen Gliedern der Reihenentwicklung dieser Formeln. Ein ganz anderes Verfahren
liefert das Buffon'sche Nadelexperiment, bei dem π auf stochastischem Wege bestimmt
wird. Natürlich ist dieses Verfahren wenig praktikabel (obwohl bekannt ist, dass einige
Menschen dieses Experiment einige Tausend mal durchgefühhrt haben), aber mathematisch sehr
interessant.
- Zahlentheorie
Dieser Artikel beginnt mit dem Abstecken der verschiedenen Zahlbereiche. Einem Kapitel über
die Dichtheit der rationalen und reellen Zahlen schließt sich ein Kapitel über Irrationalitätsbeweise
an, das Grundzüge der Analysis benutzt und auch übersprungen werden kann. Einfache algebraische Strukturen
werden verwendet, um die Zahlbereiche zu erweitern. Dann werden natürliche und ganze Zahlen
genauer untersucht. Als wichtiges zahlentheoretisches Hilfmittel wird die Moduloarithmetik vorgestellt.
Mit ihrer Hilfe werden Primzahltests, Faktorisierungsverfahren und Quadratzahlen untersucht. Anschließend
werden Grundbegriffe der abstrakten Algebra eingeführt. Darauf folgt ein Kapitel über Betrands Postulat
für Unerschrockene. Den Abschluss bildet ein Streifzug durch die Zahlentheorie.
- Gabriels Horn
In diesem Artikel werden wir uns etwas mit uneigentlichen Integralen und Rotationskörpern
befassen.
- Das Bertrand'sche Paradoxon
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Kreissehne größer ist
als die Seite des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks? So einfach diese Frage klingen mag,
so kompliziert ist ihre Antwort. Denn es gibt keine eindeutige Antwort, wie die folgenden
Überlegungen zeigen werden.
- Das Fermat'sche Prinzip
Das Fermat'sche Prinzip, welches besagt, dass das Licht unter allen möglichen Wegen den mit der
kürzesten Laufzeit nimmt, wird benutzt, um das Reflexions- und Brechungsgesetz herzuleiten.
- Fourier-Reihen
Dieser Artikel gibt eine elementare Einführung in die Theorie der Fourier-Reihen. Er
beginnt mit einer kurzen Analyse des Problems, Funktionen als unendliche Reihe
trigonometrischer Funktionen darzustellen, wonach die benötigten
Orthogonalitätsrelationen und Koeffizientenformeln hergeleitet werden. Auch die
Fourier-Reihe in komplexer Darstellung wird behandelt. Danach folgt ein Kapitel, in dem
einige einfache Beispiele durchgerechnet werden. Das dabei beobachtete Gibbs'sche Phänomen
wird daraufhin genauer untersucht. Dann wird auf den Zusammenhang zwischen Fourier-Reihen und
Taylor- sowie Laurent-Reihen eingegangen. Weiter wird die Partialbruchzerlegung des
Cotangens hergeleitet. Zum Abschluss werden die erhaltenen
Gleichungen benutzt, um Formeln für die Kreiszahl π abzuleiten.
- Die Bedeutung der Areafunktionen
Die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen heißen Areafunktionen. Woher dieser
Name kommt, und wie man ihre Werte anschaulich gewinnen kann, untersuchen wir in diesem
Artikel.
- Wallis-Formel, Gammafunktion und n-dimensionale Kugeln
Das Ziel dieses Artikels ist es, Formeln für das Volumen und die Oberfläche von
n-dimensionalen Kugeln herzuleiten. Auf diesem Weg wird das Wallis-Produkt
berechnet, und einige Eigenschaften der Gauß'schen Gammafunktion werden
präsentiert.
- Das isoperimetrische Problem
Das isoperimetrische Problem, auch bekannt als das Problem der Dido,
ist es, unter allen geschlossenen ebenen Kurven gleichen Umfangs diejenige
zu finden, welche die größte Fläche umschließt. Es zeigt sich, dass
die Lösung dieses Problems der Kreis ist. In diesem Artikel werden
drei verschiedene Beweise dieser Tatsache vorgestellt.
- Bernoulli-Zahlen, Zetafunktion und Summen von Potenzen
Die Bernoulli-Zahlen gehören zu den wichtigsten Konstanten der Mathematik.
Wir leiten hier einige ihrer Eigenschaften ab und benutzen sie, um bestimmte
Werte der Riemann'schen Zetafunktion zu berechnen sowie eine geschlossene
Formel für Summen von Potenzen zu finden.
- Funktionalgleichungen
Funktionalgleichungen sind Gleichungen, mit denen Funktionen charakterisiert oder bestimmt
werden können. In diesem Artikel betrachten wir einige Beispiele für Funktionalgleichungen
und sehen, wie lineare Funktionen, Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen durch
Funktionalgleichungen beschrieben werden.
- Conways Soldaten
Bei Conways Soldaten handelt es sich um ein mathematisches Spiel, bei dem Spielfiguren
über ein kariertes Spielfeld geführt werden. Das Ziel des Spiels ist es, so weit wie
möglich hinter die Grenze ins feindliche Territorium einzudringen.
Letzte Änderungen
- 7. August 2010: Neuer Artikel: Conways Soldaten.
- 7. August 2010: Der Abschnitt über die Power-Tower-Funktion im Artikel über
Unendliche Potenzen wurde erweitert.
- 10. Mai 2010: Neuer Artikel: Funktionalgleichungen.
- 9. Mai 2010: Das erste Kapitel im Artikel über die Kettenlinie wurde komplett überarbeitet.
- 4. Mai 2010: Der Artikel über die Bernoulli-Zahlen wurde überarbeitet.
- 2. Mai 2010: Der Artikel über die Fakultät wurde um zwei Kapitel erweitert.
- 1. Mai 2010: Der Artikel über die Kettenlinie wurde erweitert.
- 7. Februar 2005: Der Artikel über Gabriels Horn wurde überarbeitet.
- 21. Oktober 2004: Der Artikel über Fourier-Reihen wurde überarbeitet.
- 12. September 2004: Der Artikel über Fraktale wurde erweitert.
- 1. September 2004: Der Artikel über Bernoulli-Zahlen wurde erweitert.
- 18. April 2004: Neuer Artikel: Bernoulli-Zahlen, Zetafunktion und Summen von Potenzen.
- 14. April 2004: Der Artikel über Kegelschnitte wurde erweitert.
- 26. Oktober 2003: Dem Artikel über n-dimensionale Kugeln wurde eine Berechnung der Kugeloberfläche mit
Kugelkoordinaten hinzugefügt.
- 18. Oktober 2003: Neuer Artikel: Das isoperimetrische Problem.
- 17. Oktober 2003: Der Artikel über Fourier-Reihen wurde um eine Herleitung der Bessel'schen
Ungleichung und der Parseval'schen Gleichung erweitert.
- 13. September 2003: Der Artikel über Zahlentheorie wurde überarbeitet.
- 17. August 2003: Der Artikel über Fibonacci-Zahlen wurde überarbeitet und um eine Behandlung
der Goldenen Spiralen ergänzt.
- 6. August 2003: Neuer Artikel: Wallis-Formel, Gammafunktion und n-dimensionale Kugeln.
- 6. August 2003: Der Artikel über die Fakultät wurde überarbeitet, und eine Herleitung
der Stirling-Formel wurde hinzugefügt.
- 17. Mai 2003: Im Artikel über Kegelschnitte wurde ein kleiner Fehler in einer Skizze korrigiert.
- 3. Mai 2003: Der Artikel über Fourier-Reihen wurde überarbeitet.
- 19. April 2003: Im Artikel über Fourier-Reihen wird nun die Partialbruchzerlegung des
Cotangens hergeleitet.
- 24. März 2003: Neuer Artikel: Die Bedeutung der Areafunktionen.
- 16. März 2003: Dem Artikel über Fourier-Reihen wurde eine Diskussion des Gibbs'schen Phänomens
sowie der Verbindungen zu Taylor- und Laurent-Reihen hinzugefügt.
- 8. März 2003: Der Artikel über die Kettenlinie wurde erweitert.
- 2. Januar 2003: Der Artikel über Fourier-Reihen wurde erweitert.
- 13. Oktober 2002: Der Artikel über Fraktale wurde überarbeitet.
- 19. September 2002: Der Artikel über die Kettenlinie wurde überarbeitet und eine neue
Herleitung über die Euler-Lagrange-Gleichung wurde hinzugefügt.
- 11. August 2002: Im Artikel über Kegelschnitte wurde ein kleiner Fehler in einer Skizze korrigiert.
- 29. Juni 2002: Auf vielfachen Wunsch wurde die Lösung der Differentialgleichung dem Kettenlinien-Artikel hinzugefügt.
- 6. April 2002: Neuer Artikel: Fourier-Reihen.
- 6. April 2002: Die Font-Probleme in den Artikeln wurden beseitigt.
- 23. März 2002: Kleinere Änderungen im Fraktal-Artikel.
- 8. März 2002: Die Mathe-Seiten haben endlich ein eigenes Zuhause gefunden! Ab sofort sind sie
erreichbar unter www.mathe-seiten.de.
- 11. Februar 2002: Korrektur eines kleinen Fehlers im Fermat-Artikel.
- 10. Februar 2002: Neuer Artikel: Das Fermat'sche Prinzip.
FAQ
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